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2020考研數學:線性代數各章節重要知識點梳理

來源: 跨考教育

2019-11-15 14:29:05

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  2020考研臨近,作為考研課程中的公共課程,數學作為考研課程中的公共課程,數學在其中起著至關重要的作用。其中對線性代數來說,相對于高數是比較簡單的學科。但是往年考生的得分不是很理想。下面我們具體分析一下線性代數個章節復習重點,一起來看看吧。

  線性代數總共分為六章

  第一章 行列式

  本章的考試重點是行列式的計算,考查形式有兩種:

  一是數值型行列式的計算;

  二是抽象型行列式的計算。

  另外數值型行列式的計算不會單獨的考大題,考選擇,填空題較多,有時出現在大題當中的一問或者是在大題的處理其他問題需要計算行列式,題目難度不是很大。

  主要方法是利用行列式的性質或者展開定理即可。而抽象型行列式的計算主要:

  (1)利用行列式的性質

  (2)利用矩陣乘法

  (3)利用特征值

  (4)直接利用公式

  (5)利用單位陣進行變形

  (6)利用相似關系

  06、08、10、12年、13年的填空題均是抽象型的行列式計算問題,14年選擇考了一個數值型的矩陣行列式,15、16年的數一、三的填空題考查的是一個n行列式的計算。今年數一、數二、數三這塊都沒有涉及。

  第二章 矩陣

  本章的概念和運算較多,主要以填空題、選擇題為主,另外也會結合其他章節的知識點考大題。

  本章的重點較多,有矩陣的乘法、矩陣的秩、逆矩陣、伴隨矩陣、初等變換以及初等矩陣等。

  其中06、09、11、12年均考查的是初等變換與矩陣乘法之間的相互轉化,10年考查的是矩陣的秩,08年考的則是抽象矩陣求逆的問題,這幾年考查的形式為小題,而13年的兩道大題均考查到了本章的知識點,第一道題目涉及到矩陣的運算,第二道大題則用到了矩陣的秩的相關性質。14的第一道大題的第二問延續了13年第一道大題的思路,考查的仍然是矩陣乘法與線性方程組結合的知識,但是除了這些還涉及到了矩陣的分塊。16年只有數二了矩陣等價的判斷確定參數。

  第三章 向量

  本章是線代里面的重點也是難點,抽象、概念與性質結論比較多。

  重要的概念有向量的線性表出、向量組等價、線性相關與線性無關、極大線性無關組等。

  出題方式主要以選擇與大題為主。這一章無論是大題還是小題都特別容易出考題,06年以來每年都有一道考題,不是向量組的線性表出就是向量組的線性相關性的判斷,10年還考了一道向量組秩的問題,13年考查的則是向量組的等價,14年的選擇題則考查了向量組的線性無關性。15年數一第20題結合向量空間的基問題考查了向量組等價的問題。16年數數一、數三第21題與數二23題考的同樣的題,第二問考向量組的線性表示的問題。

  第四章 線性方程組

  主要考點有兩個:

  一是解的判定與解的結構

  二是求解方程

  考察的方式還是比較固定,直接給方程討論解的情況、解方程或者通過其他的關系轉化為線性方程組、矩陣方程的形式來考。

  06年以來只有11年沒有出大題,其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題,13年考查的第一道大題考查的形式不是很明顯,但也是線性方程組求解的問題。14年的第一道大題就是線性方程組的問題,15年選擇題考查了解的判定,數二、數三同一個大題里面考查了矩陣方程的問題。16年數一第20題矩陣方程解的判斷和求解,數三第20題與數二第22題直接考線性方程解的判斷和求解,數一第21題第二問解矩陣方程。16年數一、數三第21題與數二第23題第二問直接考矩陣方程解求解,基本都不需要大家做轉換。今年數一、數三第20題、數二第22題第二問題都考了抽象的線性方程的求解問題。

  第五章 矩陣

  矩陣的特征值與特征向量,每年大題都會涉及這章的內容。考大題的時候較多。

  重點考查三個方面,

  一是特征值與特征向量的定義、性質以及求法

  二是矩陣的相似對角化問題

  三是實對稱矩陣的性質以及正交相似對角化的問題。

  實對稱矩陣的性質與正交相似對角化問題可以說每年必考,09、10、11、12、13年都考了。14考查的則是矩陣的相似對角化問題,是以證明題的形式考查的。15年數一、數二、數三選擇題結合二次型正交化特點然后結合特征值定義考查;大題也是有一個題目相同,都是矩陣相似,然后對角化問題。16年數一數三第21題與數二第23題的第一問以考高次冪的形式出現,實質就是矩陣相似對角化。今年數一、數三第5、6、20、題與數二第7、8、14、22、14題都考相似、相似對角的判斷性質。今年在這章涉及的分數高達20多分。

  第六章 二次型

  本章是第五章的運用,有兩個重點:

  一是化二次型為標準形

  二是正定二次型

  前一個重點主要考查大題,有兩種處理方法:配方法與正交變換法,而正交變換法是考查的重中之重。

  10、11、12年均以大題的形式出現,考查的是利用正交變換化二次型為標準形,而13年的最后一道大題考查的也是二次型的題目,但它考查的則是二次型的矩陣表示,另外也考到二次型的標準形,它是通過間接的方式求得特征值然后直接得出標準形的。后一考點正定二次型則以小題為主。14則是以填空題的形式出現的,考查的題目為已知二次型的負慣性指數為1,讓求參數的取值范圍。15年結合對角化考了個選擇題。16年數一結合空間解析幾何考了二次型的標準型,數三、數二正負慣性指數考察。今年數一、數三第21題與數二第3題考察的就是二次型正交對角化問題。

  綜合所述,線代每年的考題都比較固定,大題基本上在線性方程和特征值的角度出。

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