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2020考研數學:復習線性代數的正確路徑

來源: 跨考教育

2019-11-15 14:26:23

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  2020考研臨近,作為考研課程中的公共課程,數學作為考研課程中的公共課程,數學在其中起著至關重要的作用。其中對線性代數來說,相對于高數是比較簡單的學科。但是往年考生的得分不是很理想。下面我們具體分析一下線性代數復習方法,一起來看看吧。

  1.綜合掌握“一條主線,兩種運算,三個工具”

  復習過程中,綜合掌握“一條主線,兩種運算,三個工具”。一條主線是解線性方程組,線代概念非常多而且相互聯系,但線代貫穿的主線求方程組的解,只要將方程組的解的概念和一般方法理解透徹,再回過頭看前面的內容就非常簡單。兩種運算是求行列式、矩陣的初等行(列)變換,三個工具是行列式、矩陣、向量。其中,向量組線性相關性是難點,要理解記憶各條定理,理清其中關系,多做題鞏固知識點。特征向量與二次型雖不難,但年年必考,計算能力要跟上,多做題才能提高正確率。

  2.網狀化知識結構,提高綜合分析能力

  線性代數從內容上看縱橫交錯,前后聯系緊密,環環相扣,相互滲透,因此解題方法靈活多變,復習時應當常問自己做得對不對,再問做得好不好。只有不斷地歸納總結,努力搞清內在聯系,使所學知識融會貫通,接口與切入點多了,熟悉了,思路自然就開闊了。

  文章開頭提到了歷年真題中,兩道大題考試內容。考生應注意掌握知識點間的聯系與區別,例如向量組的秩與矩陣的秩之間的聯系,向量的線性相關性與齊次方程組是否有非零解之間的聯系,向量的線性表示與非齊次線性方程組解的討論之間的聯系,實對稱陣的對角化與實二次型化標準形之間的聯系等。靈活掌握他們之間的聯系與區別,對做線性代數的兩個大題在解題思路和方法上會有很大的幫助。

  3.加強邏輯性,正確簡明敘述表述

  線性代數對于抽象性與邏輯性有較高的要求,通過證明題可以了解考生對數學主要原理、定理的理解與掌握程度,考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復習整理時,應當搞清公式、定理成立的條件,不能張冠李戴,同時還應注意語言的敘述表達應準確、簡明。

  4.理解與把握基本概念,熟練運用基本運算

  線性代數的概念很多,重要的有:代數余子式,伴隨矩陣,逆矩陣,初等變換與初等矩陣,正交變換與正交矩陣,秩(矩陣、向量組、二次型),等價(矩陣、向量組),線性組合與線性表出,線性相關與線性無關,極大線性無關組,基礎解系與通解,解的結構與解空間,特征值與特征向量,相似與相似對角化,二次型的標準形與規范形,正定,合同變換與合同矩陣。線性代數中運算法則多,應整理清楚不要混淆,基本運算與基本方法要過關,重要的有:行列式(數字型、字母型)的計算,求逆矩陣,求矩陣的秩,求方陣的冪,求向量組的秩與極大線性無關組,線性相關的判定或求參數,求基礎解系,求非齊次線性方程組的通解,求特征值與特征向量(定義法,特征多項式基礎解系法),判斷與求相似對角矩陣,用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標準形)。

  5.不要陷入行列式的復雜計算之中

  行列式是線性代數中的基本工具,在研究線性方程組和特征值和特征向量時會用到,有些行列式的計算很復雜,計算量也很大,但考研大綱對這部分內容的要求并不高,只是要求會用行列式的性質和按行(列)展開定理計算行列式,該部分內容不是考試的重點,因此不要在這方面花太多時間,只要掌握基本的公式和計算方法即可。從歷年考研試題分布來看,涉及行列式計算的題型有4種形式:一是單純的行列式計算,即題目給出一個具體行列式,要求計算其值,二是給出一些抽象矩陣(方陣)及相應條件,要求計算其矩陣行列式的值,三是在解線性方程組時需要計算其系數矩陣的行列式的值,四是在求解特征值時可能需要計算特征方程的根,這4種題型考生在復習時都要做一些題,掌握其基本解題方法。

  6.抓住線性代數的核心——矩陣

  矩陣和行列式是研究線性代數問題的基本工具,尤其是矩陣,它是線性代數的靈魂,貫穿整個學習過程的始終。在求解線性方程組時,主要是通過矩陣的秩來判斷解的存在性和唯一性,具體計算時主要是通過矩陣的初等變換來求其解;在分析討論向量組的線性相關和線性無關時,利用矩陣的性質來判斷其相關性和無關性也是常用的一種方法;在計算特征向量時,一般都是利用矩陣的性質或解方程組來求解;在解決二次型問題時,首先是利用矩陣運算將其表達為矩陣乘法形式,然后利用矩陣變換將其化為標準形。由此可知,矩陣是學習的重中之重。學習矩陣時,一方面要掌握其性質并靈活運用到有關的計算和證明問題中,另一方面要充分結合其它知識點的學習來進一步強化。

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